Eigenschaften von Exponentialfunktionen - bettermarks (2024)

Der Graph einer Exponentialfunktion$y=b^x$mit$b$ $>$ $0$,$b$≠$1$enthält die Punkte

und

.

Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen bestimmen.

Der Definitionsbereich$D$einer Exponentialfunktion ist ℝ, der$\text{kleinstmögliche Wertebereich}$$W$ist

. Exponentialfunktionen haben also keine$\text{Nullstelle}$.

Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade$y=0$ist die waagerechte$\text{Asymptote}$der Exponentialfunktion.

Exponentialfunktionen mit$b$ $>$ $1$sind monoton steigend.Exponentialfunktionen mit$0<b$ $<$ $1$sind monoton fallend.

Die Graphen der Exponentialfunktionen$y=b^x$und$y={\left(\frac{1}{b}\right)}^x=b^{-x}$sind zueinander symmetrisch bezüglich der y-Achse.

Du kennst die normale Exponentialfunktion mit$y=b^x$.

Durch die Verwendung von$\text{Parametern}$kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene exponentielle Wachstumsvorgänge zu beschreiben oder zu modellieren.

Allgemein hat die Gleichung dann die Form:$y=a·b^x$

Der Parameter$a$wird auch Streckfaktor genannt, denn die$\text{Exponentialkurve}$der normalen Exponentialfunktion$y=b^x$wird gestreckt

oder gestaucht

.

Ist$a$negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.Die Graphen der$\text{allgemeinen Exponentialfunktionen}$enthalten die Punkte

und

.

Für$a$ $>$ $0$ist der$\text{kleinstmögliche Wertebereich}$$W=\left]0;\infty \right[$, für$a$ $<$ $0$ist$W=\left]-\infty ;0\right[$.

Die Graphen haben also keine$\text{Nullstellen}$.

Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade$y=0$ist die waagerechte$\text{Asymptote}$der Exponentialfunktion.

In der Funktionsgleichung$y=a·b^x+d$bewirkt der Parameter$d$eine Verschiebung des Funktionsgraphen der$\text{allgemeinen Exponentialfunktion}$$y=a·b^x$in y-Richtung.

Für$d$ $>$ $0$erfolgt die Verschiebung nach oben, für$d$ $<$ $0$nach unten.

Durch die Verschiebung ändert sich im Fall$a$ $>$ $0$der Wertebereich$W$zu

.

Die Asymptote wird verschoben nach$y=d$.

Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu.

In der Funktionsgleichung$y=a·b^{x+c}$bewirkt der Parameter$c$eine Verschiebung der$\text{Exponentialkurve}$$y=a·b^x$in x-Richtung.

Für$c$ $>$ $0$erfolgt die Verschiebung nach links, für$c$ $<$ $0$nach rechts.

Durch die Verschiebung ändert sich der Wertebereich$W$nicht.

Funktionen der Form$y=a·b^{x+c}$sind auch$\text{allgemeine Exponentialfunktionen}$, denn eine Verschiebung in x-Richtung kann auch als Streckung oder Stauchung beschrieben werden.

Für$y=a·b^x$mit$b$ $>$ $1$entspricht die Verschiebung um$c$Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor$b^c$, denn$a·b^{x+c}=a·b^x·b^c$.

Die Verschiebung um$c$Einheiten nach rechts entspricht einer Stauchung mit dem Faktor${\left(\frac{1}{b}\right)}^c$, denn$a·b^{x-c}=a·b^x·b^{-c}=a·b^x·{\left(\frac{1}{b}\right)}^c$.